Разница между «на протяжении» и «напротяжении» заключается в том, что правильное написание зависит от части речи. 12
Слово «на протяжении» пишется раздельно, если выступает в роли производного предлога. 13 В этом случае «на» — предлог, «протяжении» — существительное, и действует правило о раздельном написании сочетаний существительных с предлогами, употреблённых в наречном значении. 1
Если «на протяжении» выступает в роли существительного с предлогом, то также пишется раздельно. 23 В этом случае словосочетание указывает на расстояние, а не на время. 2 Чтобы определить, что «на протяжении» выполняет роль существительного, можно вставить слово «всём» между «на» и «протяжении». 12
Таким образом, правильное написание определяется тем, какую часть речи выполняет словосочетание. 2