Написание слова «невтерпеж» без мягкого знака объясняется словообразованием: наречие образовано из сочетания существительных мужского рода («муж», «терпёж») с предлогом. 2
В русском языке мягкий знак на конце наречий после шипящих пишется не для смягчения шипящих согласных, так как шипящие «ж» и «ш» всегда твёрдые. 24 Написание мягкого знака после соответствующих им букв не изменяет их твёрдости. 2
Слово «невтерпеж» относится к исключениям из общего правила, его написание нужно запомнить. 1