Буква «и» сохраняется после приставки «меж-» из-за особенностей произношения: после шипящих и «х» звук «и» произносится чётко, без перехода в «ы». 1
Кроме того, написание гласной «и» после «меж-» объясняется историческими причинами: написание гласной «ы» нарушило бы общеизвестное правило: «ЖИ – ШИ пиши с буквой „и“». 2
Примеры: «меж + институтский» = «межинститутский». 1