Почему в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трехгранных углов больше или равно восьми?

Утверждение о том, что в любом выпуклом многограннике число треугольных граней плюс число трёхгранных углов больше или равно восьми, следует из теоремы Эйлера — соотношения между числами вершин, рёбер и граней многогранника. infourok.ru textarchive.ru

Доказательство: neerc.ifmo.ru

1. Обозначим через Vi число вершин выпуклого многогранника, в которых сходится i рёбер. neerc.ifmo.ru Тогда для общего числа вершин V имеет место равенство V = V3 + V4 + V5 + …. neerc.ifmo.ru
2. Аналогично, обозначим через Fi число граней выпуклого многогранника, у которых имеется i рёбер. neerc.ifmo.ru Тогда для общего числа граней F имеет место равенство F = F3 + F4 + F5 + …. neerc.ifmo.ru
3. Посчитаем число рёбер E многогранника. neerc.ifmo.ru Имеем: 3V3 + 4V4 + 5V5 + … = 2E, 3F3 + 4F4 + 5F5 + … = 2E. neerc.ifmo.ru
4. По теореме Эйлера выполняется равенство 4V - 4E + 4F = 8. neerc.ifmo.ru
5. Подставляя вместо V, E и F их выражения, получим: 4V3 + 4V4 + 4V5 + … - (3V3 + 4V4 + 5V5 + …) - (3F3 + 4F4 + 5F5 + …) + 4F3 + 4F4 + 4F5 + … = 8. neerc.ifmo.ru
6. Следовательно, V3 + F3 = 8 + V5 + … + F5 + …, значит, число треугольных граней плюс число трёхгранных углов больше или равно восьми. neerc.ifmo.ru