В геометрии Лобачевского многие евклидовы теоремы имеют разные обратные утверждения, потому что основания геометрии изменены. 4

Например, в основе обычной геометрии лежит постулат о параллельных линиях: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. 5 В геометрии Лобачевского вместо этого принимается аксиома, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. 34

Из изменённых оснований геометрии Евклида Лобачевский вывел совокупность предложений (теорем), которые и составляют содержание неевклидовой геометрии Лобачевского. 4

Таким образом, то, что в плоскости Евклида является достаточным признаком параллельности прямых, в плоскости Лобачевского будет достаточным признаком расходимости прямых. 4