Бесконечные периодические дроби возникают в десятичной системе счисления, когда при делении одного числа на другое не получается конечная дробь. 1 В таком случае обязательно когда-нибудь последовательности цифр начнут повторяться. 1

Это можно понять, если внимательно посмотреть на алгоритм деления столбиком. 1 В местах, обозначенных галочками, не могут всё время получаться разные пары чисел, потому что таких пар в принципе конечное множество. 1 А как только там появится такая пара, которая уже была, разность тоже будет такой же — и дальше весь процесс начнёт повторяться. 1

Также бесконечные десятичные периодические дроби получают при переводе обыкновенных дробей, знаменатели которых содержат простые множители, кроме 2 и 5, в десятичные дроби. 3