Почему в бесконечномерных пространствах компактность может не совпадать с ограниченностью и замкнутостью?

В бесконечномерных пространствах компактность может не совпадать с ограниченностью и замкнутостью, потому что в таких пространствах отсутствует свойство, которое в конечномерных пространствах делает ограниченные и замкнутые множества всегда компактными. math.stackexchange.com

Например, можно рассмотреть набор базисных векторов, который ограничен и замкнут, но не является компактным. math.stackexchange.com Это связано с тем, что элементы множества находятся на постоянном расстоянии друг от друга и не могут сходиться. math.stackexchange.com

Для определения компактности в бесконечномерных пространствах используется критерий Хаусдорфа: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и вполне ограничено, то есть у него существует конечная ε-сеть. neerc.ifmo.ru