Почему точки деления стороны треугольника делят его площадь в особом соотношении?

Возможно, имелись в виду свойства, связанные с отношениями площадей треугольников. Некоторые из них:

• Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты). nsportal.ru
• Если два треугольника имеют общий угол, то их площади соотносятся как произведение сторон, заключающих этот угол. nsportal.ru
• Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. reshutest.umax.dev nsportal.ru
• Медиана треугольника делит его на две равновеликие части. reshutest.umax.dev nsportal.ru
• Треугольник, разделённый тремя медианами, делится на шесть равновеликих треугольников. reshutest.umax.dev

Также есть лемма, согласно которой, если на сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки X и Y так, что отсекаемые отрезки составляют p-ю и r-ю долю соответствующих сторон, то площадь отрезаемого треугольника AXY составляет (pr)-ю долю площади ABC. sesc.nsu.ru