Почему теорема Вейерштрасса имеет важное значение для математического анализа?

Теорема Вейерштрасса имеет важное значение для математического анализа, поскольку она утверждает, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Также аппроксимационная теорема Вейерштрасса позволяет утверждать, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке. math.fandom.com

Кроме того, согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством. math.fandom.com