Почему существуют две разные системы записи натуральных чисел с нулем и без нуля?

Существуют две разные системы записи натуральных чисел с нулём и без нуля, потому что существуют два подхода к определению натуральных чисел. web.archive.org

При одном подходе ряд натуральных чисел начинается с единицы, при другом — с нуля. web.archive.org Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль. web.archive.org

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел, а множество натуральных чисел с нулём обозначается как N0. web.archive.org Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. web.archive.org

Также второй подход широко используется в программировании, например, при индексации массивов, нумерации битов машинного кода. spravochnick.ru