Почему существует гипотеза о бесконечности простых чисел?

Гипотеза о бесконечности простых чисел существует благодаря теореме Евклида. 15 Она утверждает, что для любого конечного списка простых чисел найдётся простое число, не вошедшее в этот список (то есть существует бесконечно много простых чисел). 1

Доказательство Евклида основано на исследовании произведения всех простых чисел. 3 Допустим, что их количество конечно, и пусть Р — произведение всех простых чисел, от первого до n-го. 3 Рассмотрим число Р+1. 3 Возможны два варианта: 3

1. Р+1 — простое число, но тогда мы сразу приходим к противоречию с исходным предположением о конечности множества простых чисел. 3
2. Р+1 — не простое число, но тогда его можно разложить на простые множители, которые, по предположению, должны быть из конечного набора. 3 Пусть среди таких множителей есть и число k. 3 Коль скоро и Р делится на k (Р ведь — произведение всех-всех-всех простых чисел, включая k), и Р+1 делится на k, то на это же k должна делиться и разность двух чисел. 3 Только вот разность эта равна 1, а 1 не может делиться ни на что, если мы собираемся оставаться в рамках целых чисел. 3 Значит, предположение о конечности набора простых чисел неверное. 3

Таким образом, всегда будет существовать ещё одно простое число, не находящееся в списке и являющееся делителем Р+1, следовательно, простых чисел бесконечно много. 5