Это утверждение можно доказать с помощью формулы сокращённого умножения. 1

Например, можно рассмотреть сумму кубов двух последовательных нечётных чисел, где первое число равно (2n + 1), а второе — (2n − 1). 34

Решение: 3

(2n + 1)³ + (2n − 1)³ = (2n + 1 + 2n − 1) ((2n + 1)² − (2n + 1) (2n − 1) + (2n − 1)²). 3

Далее следует преобразование:

= 4n ((4n² + 4n + 1) − (4n² − 1) + 4n² − 4n + 1). 3

= 4n ((4n² + 4n + 1 − 4n² + 1 + 4n² − 4n + 1). 3

= 4n (4n² + 3). 3

Таким образом, полученное выражение делится нацело на 4. 3