Почему сумма кубов нечетных чисел делится нацело на 4?

Это утверждение можно доказать с помощью формулы сокращённого умножения. otvet.mail.ru

Например, можно рассмотреть сумму кубов двух последовательных нечётных чисел, где первое число равно (2n + 1), а второе — (2n − 1). 7gy.ru uchebnikgd.reshalkag.ru

Решение: 7gy.ru

(2n + 1)³ + (2n − 1)³ = (2n + 1 + 2n − 1) ((2n + 1)² − (2n + 1) (2n − 1) + (2n − 1)²). 7gy.ru

Далее следует преобразование:

= 4n ((4n² + 4n + 1) − (4n² − 1) + 4n² − 4n + 1). 7gy.ru

= 4n ((4n² + 4n + 1 − 4n² + 1 + 4n² − 4n + 1). 7gy.ru

= 4n (4n² + 3). 7gy.ru

Таким образом, полученное выражение делится нацело на 4. 7gy.ru