Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии всегда стремится к определённому значению, потому что на бесконечности приращение (каждый новый член убывающей прогрессии) становится неотличимым от нуля. 3

Для того чтобы эта сумма существовала, необходимо, чтобы знаменатель прогрессии был меньше единицы по модулю, то есть прогрессия была убывающей. 1 В противном случае сумма будет расти по модулю и рано или поздно «перешагнёт» сколь угодно большое по модулю число. 1

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрессии, делённому на разность между единицей и знаменателем этой прогрессии. 2

Таким образом, по мере увеличения числа слагаемых сумма всё ближе приближается к этому фиксированному числу и может быть неограниченно близка к нему за счёт увеличения количества слагаемых. 1