Система линейных уравнений может не иметь решений по нескольким причинам:

• Графики уравнений — параллельные прямые. 3 Они никогда не пересекаются, а точка пересечения графиков — это и есть решение системы. 3 Например, если система состоит из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, и коэффициенты при неизвестных пропорциональны, а свободные члены — нет. 3
• Уравнения противоречат друг другу. 3 Например, если нет таких значений неизвестных, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям одновременно. 3
• Система переопределена, то есть содержит больше уравнений, чем неизвестных, при этом некоторые уравнения могут быть линейно зависимыми. 3
• Ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов левой части (теорема Кронекера-Капелли). 1 В процессе решения системы методом Гаусса тогда получится хотя бы одно уравнение, где перед всеми неизвестными будут нули, а справа — число, не равное 0. 1