Почему sin в квадрате плюс cos в квадрате равно 1?

Равенство sin²α + cos²α = 1 называется основным тригонометрическим тождеством и выполняется для произвольного значения α. ru.wikipedia.org

Доказательство основано на применении теоремы Пифагора для треугольника в тригонометрическом круге. ru.wikipedia.org Длины катетов этого треугольника по модулю равны соответствующим синусу и косинусу, а гипотенуза, будучи радиусом тригонометрического круга, равна единице. ru.wikipedia.org

Один из способов доказательства: skysmart.ru

1. Взять единичную окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. skysmart.ru
2. Выбрать произвольный угол α. skysmart.ru
3. Развернуть точку A на угол α, точка A станет точкой A1. skysmart.ru
4. По определениям, синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. skysmart.ru
5. Опустить перпендикулярную прямую A1B на x0 из точки A1, образуется прямоугольный треугольник OA1B. skysmart.ru
6. Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности, |OA1| = 1. skysmart.ru
7. Применяя полученное выражение, записать равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой: |A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2. skysmart.ru
8. Записать в виде: |y|2 + |x|2 = 12. skysmart.ru
9. Установить, что y2 + x2 = 1. skysmart.ru
10. Вставить данные угла вместо координат точек: OB = cos α, A1B = sin α, A1O = 1. skysmart.ru
11. Получить основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1. skysmart.ru