Разложение вектора по базису важно в линейной алгебре, потому что позволяет решать задачи, связанные с линейными операциями, одинаково в любом линейном пространстве, проводя вычисления в координатах. 4

Это следует из того, что при сложении любых двух векторов в линейном пространстве их координаты в одном и том же базисе складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. 1

Кроме того, разложение вектора по базису единственно в линейном пространстве. 13 Один и тот же вектор в разных базисах будет иметь разные координаты. 5

Таким образом, введение понятий «базис» и «координаты» вектора позволяет использовать универсальный язык координат для решения задач линейной алгебры. 4