Почему разложение арктангенса требует такого большого количества членов ряда для получения приемлемой точности?

Разложение арктангенса в ряд требует большого количества членов для получения приемлемой точности, возможно, из-за особенностей этой функции и условий разложения. 2

График бесконечного многочлена, полученного в результате разложения арктангенса, совпадает с графиком функции только на определённом отрезке (области сходимости ряда). 2 Вне этого отрезка разложение арктангенса в ряд расходится, и каждое значение бесконечного многочлена становится бесконечным. 2

Кроме того, погрешность разложения в ряд возрастает с ростом отклонения от узловой точки. 1 При больших отклонениях даже качественное описание функции может резко нарушаться: например, монотонно возрастающая функция при вычислении по разложению в ряд может убывать или даже стремиться к бесконечности. 1

Также при использовании рядов Тейлора в численных расчётах возникает проблема округления: чем больше членов ряда, тем выше вероятность накопления ошибок округления, особенно если работать с высокими порядками. 5