Почему прямая сумма не всегда совпадает с прямым произведением в алгебре?

Прямая сумма и прямое произведение в алгебре не всегда совпадают, потому что прямая сумма и прямое произведение имеют разные определения и применяются в различных контекстах. dxdy.ru math.stackexchange.com

Например, прямая сумма семейства групп совпадает с прямым произведением, когда рассматриваемое множество конечно. math.stackexchange.com Но когда множество бесконечно, прямая сумма становится собственной подгруппой прямого произведения. math.stackexchange.com

Также есть примеры, когда прямая сумма не совпадает с суммой, например, трёхмерное линейное пространство является суммой двух несовпадающих плоскостей, но не является их прямой суммой, так как пересечение плоскостей даёт прямую. ru.wikipedia.org