Почему программа Гильберта по аксиоматизации математики оказалась нереализуемой?

Программа Гильберта по аксиоматизации математики оказалась нереализуемой по нескольким причинам:

• Проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. dzen.ru Понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. dzen.ru
• Формалистская программа вызвала критику со стороны представителей соперничающих направлений. dzen.ru Например, Бертран Рассел обратил внимание на то, что число непротиворечивых аксиоматических систем, которые можно придумать, неограниченно, но интерес представляют лишь такие системы, которые согласуются с эмпирическим материалом. dzen.ru
• Критика со стороны Пуанкаре. plato.stanford.edu brickofknowledge.com Он счёл, что применение индукции в набросанном Гильбертом доказательстве непротиворечивости опирается на порочный круг. brickofknowledge.com
• Результаты Гёделя и Тарского. dzen.ru Они показали, что для формальной теории невозможно определить собственное понятие истины, отличное от простой выводимости. dzen.ru

Кроме того, теорема Курта Гёделя о неполноте фактически опровергла надежды Гильберта. postnauka.org Гёдель пришёл к выводу: непротиворечивая формальная система не может быть полна. scientificrussia.ru В ней всегда будут оставаться предположения, истинность или ложность которых будет невозможно доказать. scientificrussia.ru