Процесс ортогонализации Грама-Шмидта важен в линейной алгебре, потому что позволяет построить из произвольной линейно независимой системы векторов ортонормированную систему ненулевых векторов. 45 При этом подпространство, которое охватывает базис, не меняется. 1

Также процесс Грама-Шмидта сохраняет ориентацию базиса (грубо говоря, порядок, в котором вводятся базовые элементы). 1

Кроме того, ортонормированные базы хороши тем, что некоторые формулы становятся проще, когда векторы задаются на их основе. 1 Например, разложение Фурье любого вектора в ортонормированном базисе имеет простую формулу, так как не нужно строить двойной базис и учитывать нормирующие коэффициенты. 1