Принцип равномерной ограниченности важен в функциональном анализе, потому что он утверждает, что поточечная и равномерная ограниченности эквивалентны для семейств непрерывных линейных операторов, заданных на Банаховом пространстве. 34

Это следует из теоремы Банаха — Штейнгауза, которая была доказана Банахом и Штейнгаузом и независимо Хансом Ханом. 34