Почему при поиске точек экстремума важно учитывать поведение производной?

При поиске точек экстремума важно учитывать поведение производной, потому что она позволяет определить характеристики экстремума и его тип. 1

Некоторые возможности:

• Определение типа экстремума. 1 Если производная меняет знак с «плюса» на «минус» в точке, то функция имеет локальный максимум. 1 Если производная меняет знак с «минуса» на «плюс» в точке, то функция имеет локальный минимум. 1
• Определение участков возрастания и убывания функции. 35 Если производная функции положительна, то функция возрастает на определённом участке, если отрицательна — убывает. 5
• Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. 3 С помощью производной можно исследовать функцию и определить, какое значение она принимает на заданном участке. 3

При этом важно учитывать, что равенство производной нулю — необходимое, но не достаточное условие существования экстремума. 1 Если производная равна нулю в точке, это ещё не гарантирует наличие экстремума. 1 Для проверки необходимо проводить дополнительные исследования, например, исследовать знаки производной на левом и правом от требуемой точки интервале. 1