Произвольная постоянная появляется при интегрировании из-за того, что в процессе интегрирования теряется информация о конкретном виде исходной функции, а остаётся только её производная. 1

Кроме того, неопределённое интегрирование возвращает не одну первообразную, а целое их семейство, и это дополнительное число и называется произвольной постоянной. 4

Значение произвольной постоянной не может быть определено точно изначально, поскольку оно зависит от контекста и условий задачи. 1