Почему понятие компактности важно в математическом анализе?

Понятие компактности важно в математическом анализе по нескольким причинам:

• Облегчение решения задач на максимум и минимум. dzen.ru Компактность множества означает, что любая непрерывная функция на нём достигает своего максимума и минимума. dzen.ru
• Возможность «размножать» компактные множества. dzen.ru Имея одно компактное множество, можно построить множество других. dzen.ru
• Удобство работы с компактными пространствами. math.stackexchange.com Они ведут себя как «псевдоконечные», что позволяет доказывать интересные вещи о них. math.stackexchange.com
• Легче решать дифференциальные уравнения. math.stackexchange.com Часто это легче делать в компактной области, чем в некомпактной. math.stackexchange.com
• Определение некоторых типов сходимости функций. math.stackexchange.com Один из таких типов — сходимость в компактном множестве. math.stackexchange.com
• Определение важных классов мер. math.stackexchange.com Например, обычная мера Бореля определяется пределами мер в компактных наборах. math.stackexchange.com