Поле комплексных чисел является алгебраически замкнутым благодаря основной теореме алгебры. 34 Она утверждает, что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. 3

Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью. 3

Доказательство теоремы даётся методами комплексного анализа. 3 Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. 3 Поэтому функция, обратная многочлену, не сводящемуся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хотя бы один корень. 3