Почему полнота важна в функциональном анализе и топологических пространствах?

Полнота важна в функциональном анализе и топологических пространствах, потому что она означает, что если последовательность пытается сойтись, то у неё есть что-то, к чему действительно можно сойтись. math.stackexchange.com При предельном переходе по полной метрике не нужно беспокоиться о том, обладает ли предельный элемент всеми свойствами элементов последовательности. teach-in.ru

Историческая важность полноты проявляется в том, что все основные разделы анализа развивались путём заполнения пространств, которые до этого не были полными. math.stackexchange.com Например, теория интеграла Лебега — это результат завершения пространства интегрируемых функций Римана, а теорема о сходимости рядов Фурье требует полноты L2 для своего доказательства. math.stackexchange.com

Также преимущество полных пространств в том, что задачу на всём пространстве можно разбивать на задачи на подпространствах, так как в них можно делать предельные переходы. teach-in.ru