Почему перпендикулярные диагонали делают параллелограмм ромбом?

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб, потому что в таком случае все его стороны равны. wiki.sch239.net www.euroki.org

Доказательство: www.euroki.org

1. Пусть ABCD — параллелограмм, у которого диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. www.euroki.org Обозначим точку пересечения диагоналей как O. www.euroki.org
2. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, AO = OC и BO = OD. www.euroki.org
3. Рассмотрим треугольники AOB и AOD. www.euroki.org У них сторона AO общая, BO = OD (как половины диагоналей параллелограмма), и ∠AOB = ∠AOD = 90° (по условию диагонали перпендикулярны). www.euroki.org
4. Тогда треугольники AOB и AOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). www.euroki.org Следовательно, AB = AD. www.euroki.org
5. Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны параллельны и равны, то есть AB = CD и BC = AD. www.euroki.org
6. Поскольку AB = AD, то AB = BC = CD = AD, что означает, что все стороны параллелограмма равны. www.euroki.org
7. Таким образом, параллелограмм ABCD является ромбом. www.euroki.org