Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к касательной, меньше любой наклонной к касательной, потому что это следует из свойства перпендикуляра и наклонной. 4

Доказательство этого свойства используется в теореме о том, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. 12

Суть доказательства: предположим, что касательная не перпендикулярна радиусу, тогда радиус будет наклонной к касательной. 12 Поскольку перпендикуляр, проведённый из центра окружности, меньше наклонной, то расстояние от центра окружности до касательной меньше радиуса. 12

Это означает, что касательная и окружность будут иметь две общие точки, а это противоречит условию: касательная имеет с окружностью только одну общую точку. 12 Следовательно, предположение о том, что касательная не перпендикулярна радиусу, неверно. 1