Почему определитель важен для линейных преобразований?

Определитель важен для линейных преобразований, потому что он выступает как лаконичный индикатор важных свойств и характеристик линейного отображения или матрицы. education.yandex.ru

Некоторые аспекты важности определителя:

• Оценка изменения площади пространства. education.yandex.ru Определитель позволяет определить коэффициент изменения исходной площади пространства под действием деформации. education.yandex.ru
• Определение обратимости матрицы. math.stackexchange.com Ненулевой определитель эквивалентен обратимости матрицы, что соответствует наборам линейных уравнений с одним решением. math.stackexchange.com Нулевой определитель означает, что матрица необратима, и в этом случае наборы линейных уравнений могут иметь либо бесконечно много решений, либо не иметь ни одного. math.stackexchange.com
• Геометрическая интерпретация линейных отображений. education.yandex.ru Определитель помогает понять, как линейные деформации изменяют отдельные векторы и всё пространство в целом. education.yandex.ru
• Проверка вырожденности матрицы. education.yandex.ru Определитель указывает на то, близка ли матрица к вырожденной, например, когда признаки почти линейно зависимы. education.yandex.ru
• Применение в алгоритмах. education.yandex.ru В некоторых моделях определитель влияет на вклад компоненты в общую вероятность наблюдения. education.yandex.ru