Почему определитель важен для анализа многомерных пространств?

Определитель важен для анализа многомерных пространств, потому что он характеризует ориентированное «растяжение» или «сжатие» многомерного евклидова пространства после преобразования матрицей. ru.wikipedia.org

Кроме того, эта величина определяет многие свойства матрицы, в частности, матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель является обратимым элементом кольца. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Также определитель используется для нахождения собственных значений и собственных векторов матриц. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru Например, определитель матрицы коэффициентов векторов относительно ортонормированного базиса имеет смысл ориентированного объёма параллелепипеда, построенного на этих векторах. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru

Ещё одна причина важности определителя — возможность определить линейную зависимость и полноту систем векторов в векторном пространстве, так как эти понятия тесно связаны с определителем. ru.wikipedia.org ru.ruwiki.ru