Почему определенные типы уравнений считаются 'неразрешимыми'?

Уравнения могут считаться неразрешимыми по разным причинам, например:

• Отсутствие корней. yandex.ru Уравнение может не иметь корней в действительных числах, но иметь решение в комплексных числах. yandex.ru
• Невозможность выразить корни с помощью элементарных функций. yandex.ru Такие уравнения бывают и для одной переменной. yandex.ru
• Невозможность найти корни никаким алгоритмом. yandex.ru Это так называемая 10-я проблема Гильберта. yandex.ru
• Противоречивые условия. telegra.ph Например, если в системе есть два уравнения, утверждающих, что одна и та же переменная равна двум разным числам, то система явно не имеет решения. telegra.ph
• Зависимость уравнений. telegra.ph Если одно уравнение системы является линейной комбинацией других уравнений, то оно не добавляет новой информации и может быть исключено из системы. telegra.ph Однако, если при этом условия системы противоречивы, то она всё равно будет несовместной. telegra.ph

Также существует ненаучная классификация, в которой «нерешающимися» называют уравнения, для решения которых недостаточно упрощающих запись тождественных преобразований. vk.com При внимательном рассмотрении выясняется, что такие уравнения решаются, и для этого часто требуется изучить поведение встречающихся функций. vk.com