Одно и то же линейное преобразование может иметь разные матрицы в разных базисах, потому что матрица линейного преобразования порождается базисными векторами, а их существует много в том или ином векторном пространстве. 2

Чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). 1 При переходе к другому базису матрица, скорее всего, будет другой, хотя само линейное преобразование не изменится. 1

Например, если рассмотреть матрицу перекоса плоскости в направлении вектора в декартовой системе, то тот же самый перекос запишется совершенно другой матрицей в зависимости от того, какие векторы выбраны в качестве базиса. 2