В предложении «Why does she not want to take her cat?» «not» стоит перед основным глаголом, потому что это отрицательная форма в настоящем неопределённом времени (Present Indefinite Tense). 24
Использовать «doesn't» также грамматически верно, главное поставить его в правильное место в предложении: «Why doesn't she want to take her cat?». 3