Почему неравенство треугольника имеет важное значение в анализе топологий и метрических пространств?

Неравенство треугольника имеет важное значение в анализе топологий и метрических пространств по нескольким причинам:

• Определение метрики. math.stackexchange.com Метрика — это способ измерения расстояния между двумя точками в пространстве. math.stackexchange.com Неравенство треугольника является обобщением того факта, что кратчайший путь из одной точки в другую — это отрезок прямой, соединяющий две точки. math.stackexchange.com
• Введение структуры топологического пространства. spravochnick.ru Неравенство треугольника показывает, что в любом метрическом пространстве пересечение двух открытых шаров содержит вместе с каждой точкой некоторый открытый шар с центром в этой точке. spravochnick.ru Так как открытые шары покрывают пространство, то они составляют базу некоторой топологии. spravochnick.ru
• Чёткость определения. math.stackexchange.com Если неравенство треугольника не выполняется, то определение метрики становится менее определённым и значимым. math.stackexchange.com

Таким образом, неравенство треугольника помогает обеспечить чёткость и значимость определения метрики, что важно для анализа топологий и метрических пространств. math.stackexchange.com