Почему неравенство о средних имеет практическое применение в задачах оптимизации?

Неравенства о средних имеют практическое применение в задачах оптимизации, потому что они позволяют устанавливать связь между различными средними значениями, что помогает в решении задач, связанных с оптимальным выбором. 13

Например, неравенство среднего арифметического и среднего геометрического (AM-GM) утверждает, что для любого набора неотрицательных действительных чисел среднее арифметическое всегда больше или равно среднему геометрическому. 1 Это неравенство используется, в частности, при доказательстве границ и оптимизации алгебраических выражений. 1

Также существует неравенство Коши, которое гласит: «Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел a и b не меньше их среднего геометрического, причём равенство достигается только при a=b». 3

Таким образом, неравенства о средних служат универсальным и мощным инструментом в теоретической и прикладной математике, который находит применение в различных областях, включая экономику и инженерное дело. 1