Неравенство о средних часто используется в математических доказательствах, потому что оно позволяет утверждать, что одно среднее число меньше или равно другому. 24 Например, среднее арифметическое чисел лежит между самыми маленькими и самыми большими из них. 25

Некоторые другие неравенства о средних:

• Минимальное среди ряда из n чисел меньше или равно, чем среднее гармоническое. 2
• Среднее гармоническое меньше или равно среднему геометрическому. 2
• Среднее геометрическое меньше или равно среднему арифметическому. 2
• Среднее арифметическое меньше или равно среднему квадратичному, а среднее квадратичное меньше или равно наибольшему из данного ряда чисел. 2

Равенство в этих неравенствах достигается только в случае равенства всех аргументов. 4