Некоторые уравнения невозможно решить в закрытой форме по разным причинам, например:

• Сочетание в уравнении тригонометрических и полиномиальных функций. 3 Это создаёт непреодолимые препятствия для точного разрешения уравнения. 3
• Наличие трансцендентных функций. 3 Например, экспоненциальной или тригонометрической. 3 Такие функции нельзя выразить в терминах обычных алгебраических операций, таких как сложение и умножение. 3
• Отсутствие разработанных методов решения. 4 Для некоторых случаев уравнений методы решения не придуманы, и нет гарантий, что произвольное уравнение будет иметь решение. 4

Существует теорема Абеля–Руффини, которая утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах и, следовательно, не имеют замкнутых форм. 1 Пример такого уравнения — x^5 − x − 1 = 0. 1