Почему некоторые уравнения невозможно решить в закрытой форме?

Некоторые уравнения невозможно решить в закрытой форме по разным причинам, например:

• Сочетание в уравнении тригонометрических и полиномиальных функций. habr.com Это создаёт непреодолимые препятствия для точного разрешения уравнения. habr.com
• Наличие трансцендентных функций. habr.com Например, экспоненциальной или тригонометрической. habr.com Такие функции нельзя выразить в терминах обычных алгебраических операций, таких как сложение и умножение. habr.com
• Отсутствие разработанных методов решения. yandex.ru Для некоторых случаев уравнений методы решения не придуманы, и нет гарантий, что произвольное уравнение будет иметь решение. yandex.ru

Существует теорема Абеля–Руффини, которая утверждает, что существуют уравнения, решения которых не могут быть выражены в радикалах и, следовательно, не имеют замкнутых форм. en.wikipedia.org Пример такого уравнения — x^5 − x − 1 = 0. en.wikipedia.org