Некоторые уравнения невозможно решить с помощью существующих алгоритмов из-за алгоритмической неразрешимости задачи. 14

Задача считается алгоритмически неразрешимой, если не существует машины Тьюринга (или рекурсивной функции, или нормального алгоритма Маркова), которая её решает. 4

Некоторые примеры:

• 10-я проблема Гильберта. 12 Требуется выработать алгоритм, позволяющий для любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами выяснить, имеет ли оно целочисленное решение. 2 В 1970 году советский математик Ю. В. Матиясевич доказал невозможность построения такого алгоритма. 2
• Уравнения, состоящие из различных функций. 5 Решение таких уравнений не может иметь замкнутую форму, так как для их решения требуется применение конечного числа элементарных функций и операций. 5
• Топологические уравнения. 5 Например, Владимир Арнольд показал, что общее алгебраическое уравнение степени 5 или выше неразрешимо радикалами именно по топологическим причинам. 5