Некоторые числа считаются нерешаемыми с помощью алгебраических методов, потому что арифметические операции над ними оказываются очень трудоёмкими. 1 Например, нахождение минимального многочлена для суммы или произведения алгебраических чисел представляет собой нетривиальную задачу. 1

Также существуют трансцендентные числа, которые не являются алгебраическими и не могут удовлетворять ни одному алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. 3 Например, французский математик Ж. Лиувилль в 1844 году показал, что такие числа существуют. 3

Ещё одна причина, по которой некоторые задачи в теории чисел считаются нерешёнными, — неравномерное распределение простых чисел на числовой оси, из-за чего заранее предсказать, где именно появится следующее простое число, не получается. 5