Почему некоторые числа при умножении на их цифры дают уникальные результаты?

Возможно, имелись в виду некоторые числа, которые при умножении на другие числа проявляют необычные свойства.

Число 142857 называют циклическим. brainapps.ru 4brain.ru Если его умножать на однозначные числа от 1 до 7, то в произведении будут оставаться цифры 1, 4, 2, 8, 5 и 7, при этом порядок цифр не будет меняться: за крайней правой цифрой будет следовать крайняя левая. 4brain.ru

Число 999 имеет особенность: при умножении на него любого другого трёхзначного числа получается шестизначное произведение. genius.pstu.ru dzen.ru Первые три цифры произведения — это умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) — это «дополнения» первых до 9. genius.pstu.ru dzen.ru

Число 1001 известно тем, что при умножении на него трёхзначного числа получается результат, состоящий из самого умножаемого числа, записанного дважды. genius.pstu.ru dzen.ru

Число 10101 даёт удивительный результат при умножении двузначных чисел: каждое двузначное число, умноженное на 10101, даёт в результате само себя, написанное трижды. genius.pstu.ru