Почему некоторые бесконечные дроби являются периодическими?

Некоторые бесконечные дроби являются периодическими, потому что при делении одного числа на другое, если не получается конечная дробь, то получается бесконечная периодическая, то есть когда-нибудь последовательности цифр начинают повторяться. ilyabirman.ru

Это можно понять, посмотрев внимательно на алгоритм деления столбиком. ilyabirman.ru В местах, обозначенных галочками, не могут всё время получаться разные пары чисел, потому что таких пар в принципе конечное множество. ilyabirman.ru А как только там появится такая пара, которая уже была, разность тоже будет такой же — и дальше весь процесс начнёт повторяться. ilyabirman.ru

Повторяющаяся группа цифр называется периодом и записывается в скобках. resh.edu.ru ru.ruwiki.ru Например, в дроби 0,333… период — 3, а в дроби 1,67313131… — 31. ru.ruwiki.ru