Множество всех подмножеств несчётного множества не может быть счётным, потому что не существует биекции между определённым множеством и множеством всех его подмножеств. 13

Предположим противное и выберем множество всех элементов исходного множества, которые не сопоставлены множествам, содержащим самих себя. 1 Такое множество, безусловно, является элементом множества всех подмножеств. 1 Оно не может быть сопоставлено всякому элементу, который в нём лежит (по определению), так же как и всякому элементу, который в нём не лежит (поскольку иначе он бы в нём уже лежал). 1 Таким образом, построенное множество пусто, но подмножеств, содержащих определённый элемент, всегда больше одного, значит соответствие не взаимно-однозначное. 1 Противоречие, значит предположение о существовании биекции неверно. 1