Множество непрерывных функций на отрезке становится линейным пространством, потому что оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр. 4

Если функции x и y непрерывны на отрезке [a;b], то и функции x + y и αx непрерывны на этом отрезке. 4 Следовательно, линейная комбинация непрерывных на отрезке функций также непрерывна на этом отрезке. 1

Аксиомы линейного пространства в таком случае выполняются в силу выполнения соответствующих аксиом для множества действительных чисел, поэтому множество непрерывных функций на отрезке с введёнными операциями сложения и умножения на скаляр является линейным пространством. 4