Математики столкнулись с трудностями в определении бесконечности по нескольким причинам:

• Сложность представления бесконечности. 14 Учёные привыкли работать с точными величинами и определёнными понятиями, а бесконечность в обобщённом значении не укладывается в их сознании. 1
• Смешение представлений об актуальной и потенциальной бесконечности. 5 Актуальная бесконечность — элемент математической теории, но к ней обращаются в рамках интуитивного математического мышления. 5 Это вызывает серьёзные осложнения при любых попытках формализации математических оснований. 5
• Парадоксы и неразрешимые задачи, связанные с актуальной бесконечностью. 1 Например, принцип, согласно которому всем элементам одного набора объектов возможно найти пару в другом наборе объектов того же размера, при применении к неограниченно большим наборам противоречил идее, что целое всегда больше, чем любая его часть. 1
• Пробелы в математических утверждениях. 3 Математики натыкались на утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью девяти аксиом, которые служат фундаментальными законами математики. 3
• Гипотеза континуума. 3 Утверждение о возможных размерах бесконечности, которое на протяжении 140 лет не удавалось доказать. 3