Математикам не удалось доказать пятый постулат Евклида по нескольким причинам:

• Сложность формулировки и её неубедительность. 2 Многие математики, жившие после Евклида, стремились заменить аксиому о параллельных прямых более простой и интуитивно ясной либо доказать её как теорему, опираясь на другие аксиомы «Начал». 2
• Логические ошибки в предложенных доказательствах. 45 В каждом из них рано или поздно обнаруживалась логическая ошибка («порочный круг в доказательстве»): среди явных или неявных посылок содержалось утверждение, которое не удавалось доказать без использования того же пятого постулата. 45
• Ограниченный характер постулата. 3 В отличие от первых четырёх постулатов, пятый действителен только для плоскостной (евклидовой) геометрии и ошибочен для геометрий объёмных поверхностей, в частности для геометрии Лобачевского. 3