Квадратные матрицы важны в линейной алгебре, потому что они позволяют:

• Компактно записывать системы линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. 2 В этом случае количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. 2 В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. 2
• Определять степени матрицы. 1 Это даёт возможность определять полиномиальные функции квадратной матрицы и, следовательно, придавать смысл таким утверждениям, как теорема Кэли-Гамильтона. 1
• Сопоставлять линейным операторам. 2 Каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, можно сопоставить единственную квадратную матрицу порядка n, и обратно — каждой квадратной матрице порядка n может быть сопоставлен единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. 2