Квадрат натурального числа не всегда делится на 8 без остатка, потому что в зависимости от чётности исходного числа остаток может быть разным: 4

• Если число нечётно (n = 2k + 1, где k — целое число), то n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 8(k(k+1)/2) + 1. 14 Одно из чисел k или k+1 — чётно, поэтому число k(k+1)/2 — целое. 4 Следовательно, число n^2 = 8(k*(k+1)/2) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. 14
• Если число чётно, но не делится на 4, то n^2 делится на 4, но не делится на более высокие степени 2 (в частности на 8). 4 Тогда и остаток от деления n^2 на 8 делится на 4, но не делится на 8, следовательно, этот остаток равен 4. 4
• Если число делится на 4, то n^2 делится на 16, а значит и на 8. 4 Следовательно, в этом случае остаток от деления n^2 на 4 равен 0. 4