Критерий компактности Хаусдорфа важен в математическом анализе, поскольку даёт удобный способ проверки свойства относительной компактности в банаховых пространствах. 1

Согласно теореме Хаусдорфа, множество в полном метрическом пространстве является относительно компактным, когда для каждого элемента существует конечная ε-сеть — такое конечное множество точек, что любая точка множества отстоит от некоторой точки на расстоянии, не большем ε. 1

Кроме того, критерий компактности Хаусдорфа позволяет установить связь между относительной секвенциальной компактностью и ограниченностью множества в метрическом пространстве. 2

Таким образом, критерий компактности Хаусдорфа помогает в изучении свойств множеств и их компактности, что является важным аспектом математического анализа.