Комплексные числа важны в математике и физике, потому что с их помощью легко и просто решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. 4

В математике с помощью комплексного анализа решаются многие сложные задачи теории чисел (например, теория биквадратичных вычетов) и вещественного математического анализа (например, вычисление сложных или несобственных интегралов). 1

В физике комплексные числа используются, например, для расчёта цепей переменного тока. 3 Это удобно: реактивные токи можно представлять по мнимой оси, а активные — по действительной. 3 Также комплексная плоскость позволяет применять конформные отображения, которые упрощают расчёты в электрических цепях, задачах теплопроводности, гидродинамики и даже в магнитных полях. 4

Ещё один пример применения комплексных чисел — квантовая механика, в ней они используются для вычисления волновой функции. 3