Компакты считаются фундаментальным понятием в топологии, потому что они обобщают свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства. 2

Некоторые свойства компактных пространств:

• Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт. 2
• Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений. 2
• Замкнутое подмножество компакта компактно. 23
• Компактные множества «ведут себя как точки». 2 Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающихся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями. 2

Таким образом, компакты позволяют решать задачи на максимум и минимум, а также позволяют «размножать» компактные множества: имея одно, можно построить сколько угодно ещё. 1