Почему компакты считаются фундаментальным понятием в топологии?

Компакты считаются фундаментальным понятием в топологии, потому что они обобщают свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства. ru.wikipedia.org

Некоторые свойства компактных пространств:

• Для любого непрерывного отображения образ компакта — компакт. ru.wikipedia.org
• Любая непрерывная вещественная функция на компактном пространстве ограниченна и достигает своих наибольших и наименьших значений. ru.wikipedia.org
• Замкнутое подмножество компакта компактно. ru.wikipedia.org bogomolov-lab.ru
• Компактные множества «ведут себя как точки». ru.wikipedia.org Например: в хаусдорфовом пространстве любые два непересекающихся компактных множества обладают непересекающимися окрестностями. ru.wikipedia.org

Таким образом, компакты позволяют решать задачи на максимум и минимум, а также позволяют «размножать» компактные множества: имея одно, можно построить сколько угодно ещё. dzen.ru